Question

设e为自然对数的底数，已知直线l：y=-e^-t（x-t）+e^-t，t＞-1，则直线l与两条坐标轴所围成的三角形面积的最大值等于

2

e

．

Answer 1

分析：分别令x=0与y=0可求得l与两条坐标轴的交点坐标，于是可得到所围成的三角形面积的表达式，继而可利用导数法求其最大值．

解答：解：∵直线l：y=-e^-t（x-t）+e^-t，
令x=0，y=（t+1）e^-t，即A（0，（t+1）e^-t）
令y=0，x=t+1，故B（t+1，0），
∵t＞-1，
∴S_△OAB=

1

2

|t+1|•|t+1|e^-t=

1

2

（t²+2t+1）e^-t，
∴S′_△OAB=

1

2

（2t+2）e^-t+

1

2

（t²+2t+1）e^-t×（-1）=

1

2

e^-t（1-t²），
∵t＞-1，
∴当t=1时，S′_△OAB=0，
当t＞1时，S′_△OAB＜0，当-1＜t＜1时，S′_△OAB，＞0，
∴当t=1时，S_△OAB有极大值，
∵S′_△OAB=0的t的值唯一，
∴S_△OAB的极大值就是最大值．
∴当t=1时，S_△OAB有最大值，
S_△OAB的最大值为

1

2

×（1+1）（1+1）e^-1=

2

e

．
故答案为：

2

e

．

点评：本题考查直线的一般式方程，考查三角形面积的表达式及其应用，考查导数法求最值中的应用，属于中档题．