Question

（2013•楚雄州模拟）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；
（3）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有实数解．

Answer 1

分析：（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．
（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为-3，若是就可求出相应的最大值．
（3）根据（1）可求出|f（x）|的值域，通过求导可求出函数g（x）═

lnx

x

+

1

2

的值域，通过比较上述两个函数的值域，就可判断出方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有实数解．

解答：解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，令f^′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为-1．
（2）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e]，

1

x

∈[

1

e

，+∞)．
①若a≥-

1

e

，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合题意．
②若a＜-

1

e

，则由f′（x）＞0⇒a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f^′（x）＜0⇒a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x≤e．
从而f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数
∴f（x）_max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)
令-1+ln(-

1

a

)=-3，则ln(-

1

a

)=-2
∴-

1

a

=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜-

1

e

，∴a=-e²为所求．
（3）由（1）知当a=-1时f（x）_max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1．
又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，令g′（x）=0，得x=e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）  在（0，e）单调递增；
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x） 在（e，+∞）单调递减．
∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1，
∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

．
∴方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

没有实数解．

点评：本题先通过对函数求导，求其极值，进而在求其最值及值域，用到分类讨论的思想方法．