Question

已知数列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

，当n≥2时，3a_n+1=4a_n-a_n-1 （n∈N^*）
（1）证明：{a_n+1-a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）数列{a_n}中a1=

2

3

，a2=

8

9

．当n≥2时3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*），由此能够证明{a_n+1-a_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，由此利用累加法能够求出数列{a_n}的通项公式．

解答：（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

．
当n≥2时3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
∴当n≥2时3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1，
即an+1-an=

1

3

(an-an-1)．
所以{a_n+1-a_n}是以a2-a1=

2

9

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，
故an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2，
an-1-an-2=

2

9

(

1

3

)n-3，
…
a2-a1=

2

9

(

1

3

)0，
累加得an-a1=

1

3

-(

1

3

)n，
所以an=1-(

1

3

)n．…（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法．解题时要认真审题，注意累加法的合理运用，合理地进行等价转化．