Question

如图所示，已知△AOB中，AB＝2OB＝4，D为AB的中点，若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B－AO－C的大小为．

(Ⅰ)若＝，求证：平面COD⊥平面AOB；

(Ⅱ)若∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)如图所示，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴， 　　OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz， 　　则A(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，1，)，C(2sin，2cos，0)． 　　设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量， 　　由，得，　3分 　　取z＝sinθ，则＝(cos，－sin，sin)＝(0，－，1) 　　因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，得·＝0， 　　因此平面COD⊥平面AOB．　6分 　　(Ⅱ)设二面角C－OD－B的大小为α，由(1)得 　　当＝时，cosα＝0；当∈(，]时，tan≤－， 　　cosα＝＝＝－，　10分 　　故－≤cosα＜0．因此cosα的最小值为－， 　　综上，二面角C－OD－B的余弦值的最小值为－．　12分 　　解法二：(Ⅰ)因为AO⊥OB，二面角B－AO－C为，　3分 　　所以OB⊥OC，又OC⊥OA，所以OC⊥平面AOB 　　所以平面AOB⊥平面COD．　6分 　　(Ⅱ)当＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；　7分 　　当∈(，]时，过B作OD的垂线，垂足为E， 　　过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG， 　　则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角． 　　在Rt△OCF中，CF＝2sin，OF＝－2cos， 　　在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cos，CG＝， 所以cos∠CGF＝＝－．因为∈(，]，tan≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的最小值为－．　12分