Question

定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=

x2+y2

xy

；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
（Ⅰ）求过点（-1，

1

4

）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N⁺时，求证：f_n（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

Answer 1

（Ⅰ）令x=y=1得，f²（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
当f（1）=-1时，令y=1得，f（x）=-

x2+1

2x

，即f（x）=-

1

2

（x+

1

x

），
f′（x）=-

1

2

（1-

1

x2

），
由f′（x）=-1得，x²=-1，此方程在D上无解，这说明曲线y=f（x）不存在与直线x+y+1=0平行的切线，不合题意，
则f（1）=2，此时，令y=1得，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，f′（x）=1-

1

x2

，
由f′（x）=-1得，x²=

1

2

，此方程在D上有解，符合题意．
设过点（-1，

1

4

）的切线切曲线y=f（x）于（x₀，x₀+

1

x0

），则切线的斜率为1-

1

x02

，
其方程为y-x₀-

1

x0

=（1-

1

x02

）（x-x₀），把点（-1，

1

4

）的坐标代入整理得，
5x02-8x₀-4=0，解得x₀=-

2

5

或x₀=2，
把x₀=-

2

5

或x₀=2分别代入上述方程得所求的切线方程是：y=-

21

4

x-5和y=

3

4

x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+

1

x

，当n∈N^*时，
fⁿ（x）-f（xⁿ）=(x+

1

x

)n-（xⁿ+

1

xn

）
=

C

1n

x^n-1•

1

x

+

C

2n

x^n-2•

1

x2

+…+

C

n-2n

x²•

1

xn-2

+

C

n-1n

x•

1

xn-1

=

C

1n

x^n-2+

C

2n

x^n-4+…+

C

n-2n

1

xn-4

+

C

n-1n

1

xn-2

，
由x∈（0，+∞），n∈N^*知，xⁿ∈（0，+∞），那么
2（fⁿ（x）-f（xⁿ））=

C

1n

x^n-2+

C

2n

x^n-4+…+

C

n-2n

1

xn-4

+

C

n-1n

1

xn-2

+

C

n-1n

1

xn-2

+

C

n-2n

1

xn-4

+…+

C

2n

x^n-4+

C

1n

x^n-2
=

C

1n

x^n-2+

C

2n

x^n-4+…+

C

n-2n

1

xn-4

+

C

n-1n

1

xn-2

+

C

1n

1

xn-2

+

C

2n

1

xn-4

+…+

C

n-2n

x^n-4+

C

n-1n

x^n-2
=

C

1n

（x^n-2+

1

xn-2

）+

C

2n

（x^n-4+

1

xn-4

）+…+

C

n-1n

（x^n-2+

1

xn-2

）
≥2

C

1n

+2

C

2n

+…+2

C

n-1n

）
=2（

C

1n

+

C

2n

+…+

C

n-1n

）
=2[（

C

0n

+

C

1n

+

C

2n

+…+

C

n-1n

+

C

nn

）-

C

0n

-

C

nn

）]
=2（2ⁿ-2）
所以fⁿ（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．