Question

已知函数f(x)=ax2-2

4+2b-b2

•x，g(x)=-

1-(x-a)2

(a， b∈R)．
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）对满足（II）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x）．

Answer 1

分析：（1）当b=0时，f（x）=ax²-4x，讨论a是否为0，然后根据f（x）在（-∞，2]上单调递减建立关系式，解之即可求出a的取值范围；
（2）若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，则f（x）无最大值，故a≠0，则f（x）为二次函数，根据f（x）有最大值，建立关系式，然后求出f（x）有最大值时的自变量x₀，最后根据g（x）取最小值时，x₀=a，根据条件建立等式，求出满足条件的a与b，从而求出所求；
（3）当整数对是（-1，-1），（-1，3）时，f（x）=-x²-2x根据h（x）是以2为周期的周期函数，当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：当x∈（2k-2，2k），k∈Z，则，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k）即可．

解答：解：（1）当b=0时，f（x）=ax²-4x，（1分）
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在（-∞，2]上单调递减，符合题意；（3分）
若a≠0，要使f（x）在（-∞，2]上单调递减，
必须满足

a＞0  4 2a ≥2

（5分）
∴0＜a≤1．综上所述，a的取值范围是[0，1]（6分）
（2）若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，则f（x）无最大值，（7分）
故a≠0，∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0             4+2b-b2≥0

即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，（8分）
此时，x0=

4+2b-b2

a

时，f（x）有最大值．（9分）
又g（x）取最小值时，x₀=a，（10分）
依题意，有

4+2b-b2

a

=a∈Z，则a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，（11分）
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，∴0＜a2≤

5

(a∈Z)，得a=-1，（12分）
此时b=-1或b=3．
∴满足条件的整数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．（13分）
（3）当整数对是（-1，-1），（-1，3）时，f（x）=-x²-2x∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2为周期的周期函数，（14分）
又当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x），构造h（x）如下：当x∈（2k-2，2k），k∈Z，则，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k），
故h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈Z．（16分）

点评：根据开口方向和对称轴建立关系式是解决二次函数的单调性的关键，同时考查了函数的周期性和函数的最值及其几何意义，涉及的知识点较多，是一道综合题．