Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的极大值.

（2）当时，证明函数有且只有一个零点.

Answer 1

【答案】(1) 当或时, 无极大值；

当时的极大值为.

当时的极大值为

【解析】

(1)求导得,再讨论与1的关系判定即可.

(2)根据函数的单调性以及极大值,结合单调性即可转证,有解.参变分离可得,再分析的单调性求出值域即可判定有唯一解即可.

(1) .令可得.

①当时,易得,故当时,；当时,.

故在上单调递减,在上单调递增,此时无极大值.

②当时, 当时, ；当时,与.

故在上单调递减,在,上单调递增.故函数的极大值为.

③当时, 恒成立. 此时无极大值.

④当时, 当时, ；当时,与.

故在上单调递减,在,上单调递增.故函数的极大值为.

综上所述, 当或时, 无极大值；

当时的极大值为.

当时的极大值为

(2)由(1),当时,在上单调递减,在,上单调递增.

且极大值为.故当时,.故在无零点.

又因为在上单调递增,故要证明函数有且只有一个零点,即证明,有解即可.

参变分离有,令,

则.

因为,故考虑的正负.

又,.

故为增函数.

又,故,即.

故,故为增函数.故.

故.故当时恒有解.

即有且仅有一根.得证.