Question

已知函数f（x）=ln

1

x

-ax²+x（a＞0）．
（1）若f′（1）=f′（2），求f（x）图象在x=1处的切线的方程；
（2）若f（x）的极大值和极小值分别为m，n，证明：m+n＞3-2ln2．

Answer 1

分析：（1）先求导数，由f′（1）=f′（2），即可得到a的值可求出f′（1），进而得到函数函数f（x）的解析式，得到f（1），则函数在x=1处的切线的方程可求出；
（2）先设x₁，x₂为方程f′（x）=0的两个实数根，由韦达定理得到x1+x2=

1

2a

，x1x2=

1

2a

，由于f（x）的极大值和极小值分别为m，n，可求出参数a的范围，将m+n=f（x₁）+f（x₂）整理为lna+

1

4a

+ln2+1，进而求出lna+

1

4a

+ln2+1＞3-2ln2，即得证．

解答：解：（1）f′(x)=-

2ax2-x+1

x

∵f′（1）=f′（2），
∴-2a=

8a-1

2

，即a=

1

4

∴f(x)=-lnx-

1

4

x2+x
∴f(1)=

3

4

，f′(1)=-

1

2

∴f（x）图象在x=1处的切线的方程为y-

3

4

=-

1

2

(x-1)，即2x+4y-5=0；
（2）设x₁，x₂为方程f′（x）=0的两个实数根，
则x1+x2=

1

2a

，x1x2=

1

2a

由题意得：

△=1-8a＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

⇒0＜a＜

1

8

则m+n=f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax12+x1-lnx2-ax22+x2
=-lnx1x2-a[(x1+x2)2-2x1x2]+x1+x2=lna+

1

4a

+ln2+1
令g(a)=lna+

1

4a

+ln2+1，则g′(a)=

4a-1

4a2

，
故当0＜a＜

1

8

时，g′（a）＜0，g（a）是减函数，
则g(a)＞g(

1

8

)=3-2ln2
即m+n＞3-2ln2

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．