题目内容
【题目】如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
，
，
，
分别是
，
，
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）过
作
，易证
，再证明
即可； （2）以
为坐标原点，以垂直于
得直线为
轴，以所在直线为
轴，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，用向量坐标法求解即可.
（1）证明：如图，过作，则
且
，
又
，
，
∴四边形
为平行四边形，则，
由，为
中点，得
为
中点，而
为
中点，
∴
，
，则四边形
为平行四边形，则，
∴
，
∵
平面
，
平面，
∴
平面
（2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
由
，取
，得
，
又平面
的一个法向量为
，
∴
因为
.
∴二面角
的正弦值为.
【题目】为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：
使用手机 | 不使用手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 10 | 40 | |
学习成绩一般 | 30 | ||
总计 | 100 |
（Ⅰ）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（Ⅱ）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为
，试求的分布列与数学期望.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对
名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝
以上为“常喝”，体重超过
为“肥胖”．
常喝 | 不常喝 | 合计 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
合计 | 30 |
已知在全部人中随机抽取
人，抽到肥胖的学生的概率为
．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有
的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由；
（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
附：
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