Question

（2012•贵阳模拟）函数y=π-3arcsin

1

2

(x2+4x+5)的值域为

[-

π

2

 ， 

π

2

]

．

Answer 1

分析：利用换元法，结合反正弦函数的单调性得到3arcsin

1

2

(x2+4x+5)的取值范围，再结合不等式的运算，即可得到本题的值域．

解答：解：设t=

1

2

(x2+4x+5)，得t≥

1

2

[(-2)2+4×(-2)+5]=

1

2

∵函数f（t）=arcsint是[-1，1]上的增函数
∴当t≥

1

2

时，arcsint≥arcsin

1

2

=

π

6

，且arcsint≤

π

2

由此可得3arcsin

1

2

(x2+4x+5)∈[

π

2

，

3π

2

]
∴-

π

2

=π-

3π

2

≤π-3arcsin

1

2

(x2+4x+5)≤π-

π

2

=

π

2

，
即函数y=π-3arcsin

1

2

(x2+4x+5)的值域[-

π

2

 ， 

π

2

]
故答案为：[-

π

2

 ， 

π

2

]

点评：本题给出含有反三角函数的表达式，求函数的值域，着重考查了函数的单调性和反三角函数的定义等知识，属于中档题．