Question

设a＞0,b＞0,a+b=1.

（1）证明：ab+≥4;

(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：

a²b²+≥（    ）；a³b³+≥（    ）；

（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.

Answer 1

证明见解析(2) 16与64

解析:

（1）证明  方法一  ab+≥44a²b²-17ab+4≥0

?(4ab-1)(ab-4)≥0.

∵ab=()²≤=,

∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,

因此（4ab-1）(ab-4)≥0成立，故ab+≥4.

方法二  ab+=ab++，

∵ab≤=，∴≥4，∴≥.

当且仅当a=b=时取等号.

又ab+≥2=，

当且仅当ab=，即=4,a=b=时取等号.

故ab+≥+=4

（当且仅当a=b=时，等号成立）.

（2）解  猜想：当a=b=时，

不等式a²b²+≥(   )与a³b³+≥(   )取等号，故在括号内分别填16与64.

（3）解  由此得到更一般性的结论：

aⁿbⁿ+≥4ⁿ+.

证明如下：

∵ab≤=,∴≥4.

∴aⁿbⁿ+=aⁿbⁿ++

≥2+×4ⁿ

=+=4ⁿ+，

当且仅当ab=,即a=b=时取等号.