Question

（2011•浙江模拟）已知直线l：y=2x-1与抛物线C：y²=2px（p＞0）交于A、B两点，若抛物线上存在点M，使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F，则p=

2

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），F（

p

2

，0），联立方程

y=2x-1 y2=2px

整理可得，4x²-2（p+2）x+1=0，根据方程的根与系数的关系可得•x₁+x₂，进而可得y₁+y₂=，代入三角形的重心坐标公式可得，

p 2 = x1+x2+x3 3 0= y1+y2+y3 3

可求M，代入抛物线的方程可求P

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），F（

p

2

，0）
联立方程

y=2x-1 y2=2px

整理可得，4x²-2（p+2）x+1=0
∴x1+x2=

p+2

2

，y₁+y₂=2（x₁+x₂）-2=p
由三角形的重心坐标公式可得，

p 2 = x1+x2+x3 3 0= y1+y2+y3 3

∴

x3= p-1 y3=-p

，代入抛物线的方程可得（-p）²=2p（p-1）
∴p=2
故答案为：2

点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系及三角形的重心坐标公式的综合应用．