题目内容

（2013•静安区一模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0），c2是a2与b2的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作直线交椭圆于另一点M，求|AM|长度的最大值；
（3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．
分析：（1）利用c2是a2与b2的等差中项，可得c2=a2-b2=
a2+b2
2
，设出直线方程，利用直线与原点的距离为
3
2
，建立等式，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）设M的坐标，表示出|AM|2，即可求|AM|长度的最大值；
（3）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及以CD为直径的圆过E点，结合向量知识，即可得到结论．
解答：（1）解：在椭圆中，由已知得c2=a2-b2=
a2+b2
2
（1分）
过点A（0，-b）和B（a，0）的直线方程为
x
a
+
y
-b
=1，即bx-ay-ab=0，
该直线与原点的距离为
3
2
，由点到直线的距离公式得：
ab
a2+b2
=
3
2
（3分）
解得：a2=3，b2=1，所以椭圆方程为
x2
3
+
y2
1
=1（4分）
（2）解：设M（x，y），则x2=3（1-y2），|AM|2=x2+（y+1）2=-2y2+2y+4，其中-1≤y≤1（16分）
当y=
1
2
时，|AM|2取得最大值
9
2
，所以|AM|长度的最大值为
3
2
2
（9分）
（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0，
由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）2-12（1+3k2）（t2-1）＞0，解得k2＞
t2-1
3
（11分）
设C（x1，y1）、D（x2，y2），则x1+x2=-
6kt
1+3k2
，x1•x2=
3(t2-1)
1+3k2
，
因为以CD为直径的圆过E点，所以
EC
•
ED
=0，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，（13分）
而y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
所以(k2+1)
3(t2-1)
1+3k2
-(tk+1)
6kt
1+3k2
+t2+1=0，解得k=
2t2-1
3t
（14分）
如果k2＞
t2-1
3
对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．(
2t2-1
3t
)2-
t2-1
3
=
(t2-1)2+t2
9t2
＞0，即k2＞
t2-1
3
．
所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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+
cosC
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AC
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AO
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2
x
（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则
PA
•
PB
的值是
-1
-1
．
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1
2
sin（2ax+
2π
7
）的最小正周期为4π，则正实数a=
1
4
1
4
．
（2013•静安区一模）等比数列{an}（n∈N*）中，若a2=
1
16
，a5=
1
2
，则a12=
64
64
．
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arccos
33
65
arccos
33
65
．

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