题目内容
如图，已知点
是离心率为
的椭圆
：
上的一点，斜率为
的直线
交椭圆于
，
两点，且
、、三点互不重合．
（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线
，
的斜率之和为定值．
（1）
；（2）详见解析
解析试题分析：（1）根据题意及
列方程组可得
的值。即可得此椭圆方程。（2）设出
的坐标及直线的方程与椭圆方程联立消掉
可得关于
的方程，根据题意可知判别式应大于0，根据韦达定理可得此方程的两根之和与两根之积。即点横坐标间的关系，代入直线方程，可得点纵坐标之间的关系。然后根据斜率公式可得斜率之和，将其化简问题即可得证。
试题解析：由题意，可得
，代入
得
，又， 2分
解得
，
，
，
所以椭圆的方程. 5分
(2)证明：设直线的方程为
，又
三点不重合，∴
，设
，
，
由
得
所以
① 
② 8分
设直线，的斜率分别为
，
，
则
(*) 10分
将①、②式代入(*)，
整理得
，
所以
，即直线
的斜率之和为定值
. 12分
考点：1椭圆的标准方程；2直线和圆锥曲线的位置关系问题；3定值问题。
练习册系列答案
相关题目
：
过点
，直线
交
，
两点，过点
且平行于
轴的直线分别与直线
轴相交于点
，
．
的值；
，当直线
与△
的面积相等？若存在，求出点
的短半轴长为
，动点
在直线
（
为半焦距）上．
为直径且被直线
截得的弦长为
的圆的方程；
是椭圆的右焦点，过点
，
的长为定值，并求出这个定值．
经过点
，离心率为
．
的方程；
与椭圆
两点，点
是椭圆
与直线
分别与
轴交于点
，试问以线段
为直径的圆是否过
轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.
是椭圆
交“准圆”于点
.
轴正半轴的交点时，求直线
；
的长为定值.
，椭圆
以
的长轴为短轴，且与
为坐标原点，点
、
分别在椭圆
，求直线
的方程.
的离心率为
，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:
设圆T与椭圆C交于点M、N.
的最小值，并求此时圆T的方程;
轴交于点R，S，O为坐标原点。求证：
为定值.
＝λ
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当
≤λ≤
时，求双曲线离心率e的取值范围．