Question

已知函数，数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若对于n∈N^*，都有a_n+1=a_n成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，求实数a的取值范围；
（3）设数列{b_n}满足，．求证：当a为数列{b_n}中的任意一项时，数列{a_n}必有相应一项的值为1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n+1=a_n=a，可得方程，进而可求实数a的值；
（2）由于对于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，故可建立不等式，从而有a_n＜0或2＜a_n＜3，再作分类讨论即可．
（3）由于数列{b_n}满足，．所以：，不妨设b_k=a，不断使用条件可证．
解答：解：（1）由a_n+1=a_n=a，得：
所以a=2或a=3（检验符合题意）
（2）由a_n+1＞a_n得，；
所以a_n＜0或2＜a_n＜3．
ⅰ）当a₁＜0时，；，不满足条件；
ⅱ）当2＜a₁＜3时，
同理a₃∈（2，3），…a_n∈（2，3），

所以a_n+1＞a_n成立，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）由于数列{b_n}满足，．
所以：，不妨设b_k=a，
a₂=b_k-1，
a₃=b_k-2；
…
；
．
所以结论成立．
点评：本题的考点是数列与函数的综合．主要考查利用数列知识解决不等式问题，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．