Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，当E、F分别在线段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。
小题1:判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；
小题2:当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。

Answer 1

解：
小题1: 、是异面直线，                              （1分）
法一（反证法）假设、共面为．
,,
,,．
,又
．
这与为梯形矛盾．故假设不成立．
即、是异面直线．                         （5分）
法二：在取一点M，使,又,
是平行四边形．
，
则确定平面,
与是异面直线．
小题2:法一:延长，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，
设
则△NDE中，，
，平面平面,
平面．
过E作于H，连结AH，
则．
是二面角的平面角，
则．                                 （8分）
,,

,
此时在△EFC中，
．   （10分）
又平面,
是直线与平面所成的角,
．   （12分）
即当直线与平面所成角为时，
二面角的大小为。
法二：，面面
平面．
又．
故可以以E为原点，为x轴，为轴，
为Z轴建立空间直角坐标系，
可求设．
则，，
得平面的法向量,
则有，
可取．
平面的法向量
．
．（8分）
此时，．
设与平面所成角为，
则．
即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，
二面角的大小为．（12分）

略