Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA=2，，

点E，F分别为棱AB，PD的中点。
（I）在现有图形中，找出与AF平行的平面，并给出证明；
（II）判断平面PCE与平面PCD是否垂直？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由。

Answer 1

（1）见解析（2）垂直

（I）平面与平行， 取中点，连，因为是中点，

所以，在正方形中，，所以，
所以为平行四边形，
所以，所以平面
（II）由平面，所以面，又面，
所以，由（I）知，易证
所以面，又面，所以，面PCD面PEC…………12分
（也可用空间向量法）
以A为原点AB 为X轴、AD为Y轴、 AP为Z轴，建立空间坐标系。…1分
易求A（0，0，0），F（0，1，1），G（1，1，1），E（1，0，0）,
P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0)
，所以AF//面PEG。
设面PCD的法向量为=(x,y,z）,由D得x=0,y=z.
令，设面PEC的法向量为，
由得，可令
因为，所以，面PCD面PEC