Question

14．在△ABC中，$AB=3，AC=\sqrt{3}，B=\frac{π}{6}$，则△ABC的面积等于（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$或$3\sqrt{3}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$或$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可求sinC，结合C的范围可求C，从而可求A，sinA的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵$AB=3，AC=\sqrt{3}，B=\frac{π}{6}$，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{ABsinB}{AC}$=$\frac{3×\frac{1}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴结合0＜C＜π，解得：C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，则A=π-B-C=$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{6}$，可求得：sinA=1或$\frac{1}{2}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB•sinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3×$sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值的综合应用，属于基本知识的考查．