Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2-（+1）a_n（n≥1）．
（1）求证：数列{}是等比数列；
（2）设数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，A_n=．试比较A_n与的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=，由S_n=2-（+1）a_n得S_n-1=2-（+1）a_n-1，由此能证明数列{}是等比数列．
（2）由=×=，知2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=，，A_n=2[（1-）+（-）+…+=2（1-）=．又=，问题转化为比较与的大小．
解答：解：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=，
由S_n=2-（+1）a_n得S_n-1=2-（+1）a_n-1，
于是a_n=S_n-S_n-1=（+1）a_n-1-（+1）a_n，
整理得=×（n≥2），
所以数列{}是首项及公比均为的等比数列．
（2）由（Ⅰ）得=×=．
于是2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=，
，
A_n=2[（1-）+（-）+…+=2（1-）=．

又=，问题转化为比较与的大小，即与的大小．
设f（n）=，g（n）=．
∵f（n+1）-f（n）=，当n≥3时，f（n+1）-f（n）＞0，
∴当n≥3时f（n）单调递增，
∴当n≥4时，f（n）≥f（4）=1，而g（n）＜1，∴当n≥4时f（n）＞g（n），
经检验n=1，2，3时，仍有f（n）≥g（n），
因此，对任意正整数n，都有f（n）＞g（n），
即A_n＜．
点评：本题考查数列的等比数列的证明方法和数列与不等式的综合运用，解题时要注意合理地进行等价转化．