Question

证明n为一切自然数时，（1+2+…+n）·（1++…+）≥n².

Answer 1

证明：

先看下面的证明

（1）n=1时，左边=右边=1,命题正确.

（2）假设n=k(k∈N且k≥1)命题正确，即(1+2+…+k)·(1++…+)≥k²，则n=k+1时，

左边=［1+2+…+k+(k+1)］(1++…+)=(1+2+…+k)·(1++…+)

++(k+1)·（1++…+）+1≥k²+k+(k+1)(1++…+)+1，

∵1++…+≥1+,

∴左边≥k²+k+(k+1)(1+)+1

=k²+2k+1+≥k²+2k+1=(k+1)².

∴n=k+1时命题正确.

综合（1）、（2）,知n为一切自然数时命题正确.

初看“证明”天衣无缝，仔细推敲便会发现“证明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.归纳步的证明用了结论“1++…+≥1+”,此结论成立的前提条件是k≥2,即归纳步建立的自动递推机制只能在n≥2(n∈N)的范围内行使递推职能，其得以起动的初始条件是n=2时命题正确.因此数学归纳法的奠基应是n=2时命题正确的验证，n=1时的验证只是对命题的补充证明，并非为奠基.该命题严格的证明过程应该是：

（1）n=1,2时命题正确，

（2）n≥2时，用数学归纳法证明

假设n=k(k∈N且k≥2)时命题正确，证明n=k+1时命题也正确.

综合（1）、（2）,知n为一切自然数时命题正确.