Question

证明n为一切自然数时,(1+2+…+n)·(1++…+)≥n².

Answer 1

证明：(1)当n=1时,左端=1,右端=1,故成立.

当n=2时,左端=(1+2)(1+)=≥2²=4.

(2)假设n=k(k∈N且k≥1)时命题正确,即(1+2+…+k)·(1++…+)≥k²,则n=k+1时,

左边=［1+2+…+k+(k+1)］［1++…++］=(1+2+…+k)·(1++…+)+ +(k+1)·(1++…+)+1≥k²+k+(k+1)(1++…+)+1,

∵1++…+≥1+,

∴左边≥k²+k+(k+1)(1+)+1

=k²+2k+1+≥k²+2k+1=(k+1)².

∴n=k+1时命题正确.

综合(1)(2),知n为一切自然数时命题正确.