Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，AB=

2

，O为对角线A₁C的中点．
（1）求证：AA₁‖平面DOB；
（2）求OD与底面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接AC，BD交于点E，连接A₁C，OE，则E是AC的中点，利用三角形中位线的性质证明OE∥AA₁，利用线面平行的判定定理证明AA₁‖平面DOB；
（2）判断∴∠ODE为OD与底面ABCD所成的角，即可求OD与底面ABCD所成的角的大小．

解答：（1）证明：连接AC，BD交于点E，连接A₁C，OE，则E是AC的中点，
∵O为对角线A₁C的中点，
∴OE∥AA₁，
∵AA?平面DOB，OE?平面DOB，
∴AA₁∥平面DOB；
（2）解：∵OE∥AA₁，AA₁⊥底面ABCD，
∴∠ODE为OD与底面ABCD所成的角．
∵AA₁=AD=1，AB=

2

，
∴OE=

1

2

，DE=

3

2

，
∴tan∠ODE=

OE

DE

=

3

3

，
∴∠ODE=30°．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，正确运用线面平时的判定定理是关键．