Question

已知数列{ a_n }是正项等比数列，若a₁=32，a₄=4，记b_n=log₂ a_n，则数列{b_n}的前n项和s_n的最大值为
（　　）

A．9

B．12

C．15

D．6

Answer 1

分析：由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入b_n=log₂ a_n，得到数列{b_n}为等差数列，写出前n项和后利用二次函数求最值．

解答：解：设正项等比数列{ a_n }的公比为q（q＞0），
由a₁=32，a₄=4，得q3=

a4

a1

=

4

32

=

1

8

，∴q=

1

2

．
则an=a1qn-1=32×(

1

2

)n-1=26-n．
∴b_n=log₂ a_n=log226-n=6-n．
则b₁=5，
由b_n+1-b_n=6-（n+1）-（6-n）=-1．
∴数列{b_n}是以5为首项，以-1为公差的等差数列．
则数列{b_n}的前n项和S_n=5n+

n(n-1)(-1)

2

=-

n2

2

+

11n

2

．
∴当n=5或6时，S_n有最大值为15．
故选C．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等差关系的确定，训练了利用二次函数求最值，是中档题．