Question

记函数f(x)=

bx+2

ax+1

 (a≠0)．
（1）试求函数f（x）的定义域和值域；
（2）当a=b=1时，函数f（x）的图象能否由函数y=

1

x

的图象变换得到？若能，则写出变换过程，并作出函数图象；若不能，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）使分式分母不为0，又a≠0，可得x的取值集合，即定义域，用分离常数法把所给式子变形，用反函数的图象可得含有x那一部分式子的范围，进而得到整个式子的范围；
（2）由a=b=1得f（x）的解析式，根据图象的平移知，由y=

1

x

的图象经过两次平移得到，一种先向左平移一个单位，再向上平移一个单位，第二种先向上平移一个单位，再向左平移一个单位．

解答：解：（1）由ax+1≠0得f（x）的定义域为{x|x≠-

1

a

}，（2分）
f(x)=

bx+2

ax+1

=

b a (ax+1)+2- b a

ax+1

=

b

a

+

2- b a

ax+1

，（4分）
∵

2- b a

ax+1

≠0，∴函数f（x）的值域为{y|y≠

b

a

}；（6分）
（2）当a=b=1时，函数f(x)=1+

1

x+1

（7分）
由函数y=

1

x

的图象向左平移1个单位，得到函数y=

1

x+1

的图象（9分）
再由函数y=

1

x+1

的图象向上平移1个单位，得到函数f(x)=1+

1

x+1

的图象（11分）
故，函数f(x)=1+

1

x+1

的图象为：

点评：求函数的定义域，是使解析式有意义的自变量的取值集合，当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，图象的平移遵循左加左减，上加下减的规律．