Question

已知二次函数y=ax2+(b+

2

3

)x+c+3是偶函数且图象经过坐标原点，记函数f(x)=

x

•(ax2+bx+c)．
（I）求b、c的值；
（II）当a=

1

5

时，求函数f（x）的单调区间；
（III）试讨论函数f（x）的图象上垂直于y轴的切线的存在情况．

Answer 1

分析：（1）若函数的图象经过原点，则常数项为0，若函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故不难求出b，c的值．
（2）当a=

1

5

时，结合（1）的结论不难给出函数导函数的解析式，确定导函数的符号易得函数的单调区间．
（3）如果函数图象上存在垂直于y轴的切线，则切点处的导数为0，结合导数即可求解．

解答：解：（I）∵y=ax2+(b+

2

3

)x+c+3是偶函数，
∴-

b+ 2 3

2a

=0，b=-

2

3

又∵图象过原点，
∴c=-3
（II）当a=

1

5

时，
f′(x)=

1

2 x

(

1

5

x2-

2

3

x-3)+

x

(

2

5

x-

2

3

)=

1

2 x

(x2-2x-3)
令f′（x）＞0得函数单调递增区间是（3，+∞），
令f′（x）＜0得函数单调递减区间是（0，3），
（III）∵函数f（x）的图象上垂直于y轴的切线，
∴方程f′（x）=0存在正根，
f′(x)=

1

2 x

(ax2-

2

3

x-3)+

x

(2ax-

2

3

)=

1

2 x

(5ax2-2x-3)
即5ax²-2x-3=0存在正根，△=4（1+15a）
①当a＜-

1

15

时，△＜0，方程5ax²-2x-3=0无实数根，
此时函数f（x）的图象上没有垂直于y轴的切线
②当a=-

1

15

时，△=0，方程5ax²-2x-3=0根为x=-3，
此时函数f（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
③当-

1

15

＜a＜0时，△＞0，方程5ax²-2x-3=0有两个实数根x₁，x₂，x1+x2=

2

a

＜0，x1x2=-

3

a

＞0，方程5ax²-2x-3=0有两个负实数根
此时函数f（x）的图象上没有垂直于y轴的切线
④a＞0时，△＞0，方程5ax²-2x-3=0有两个实数根x₁，x₂x1+x2=

2

a

＞0，x1x2=-

3

a

＜0，方程5ax²-2x-3=0有两一个正实数根和一个负实数根，此时函数f（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
综上：
当a＜-

1

15

或-

1

15

＜a＜0时，不存在垂直于y轴的切线
当a=-

1

15

或a＞0时，存在一条垂直于y轴的切线

点评：待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．其解题步骤一般为：①根据函数类型设出函数的解析式（其中系数待定）②根据题意构造关于系数的方程（组）③解方程（组）确定各系数的值④将求出的系数值代入求出函数的解析式．