Question

已知函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，（x∈R）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值及其相对应的x值；
（3）写出函数的单调增区间．

Answer 1

（1）∵y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2
=2（1+cos2x）+2

3

sn2x-2
=2

3

sin2x+2cos2x
=4（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=4sin（2x+

π

6

），
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

（k∈Z）时，y_max=4；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2的单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．