Question

设f(x)=

x2-3x+3

x-2

  (x＞2)，g（x）=a^x．（a＞0，a≠1，x＞2）
（I）若存在x₀∈（2+∞），使f（x₀）=m成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）若任意x₁∈（2，+∞），存在x₂∈（2，+∞），使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据f(x)=

(x-2)2+x-2+1

x-2

=x-2+

1

x-2

+1，然后利用基本不等式可求出f（x）的最小值，从而求出m的取值范围；
（II）讨论a与1的大小，从而求出g（x₂）的值域，使得[3，+∞）是g（x₂）的值域的子集，从而求出a的取值范围．

解答：解：（I）∵x＞2∴f(x)=

(x-2)2+x-2+1

x-2

=x-2+

1

x-2

+1≥3…（3分）
当且仅当x=3时取等号
∴f（x）的值域为[3，+∞）∴m的取值范围是[3，+∞）…（6分）
（Ⅱ）∵x₁＞2∴f（x₁）∈[3，+∞）…（7分）
（1）当a∈（0，1）时，g(x2)∈(-∞，a2)．
而（-∞，a²）不可能包含[3，+∞），故此时a不存在．…（9分）
（2）当a∈（1，+∞）时，g(x2)∈(a2，+∞)．要使（a²，+∞）?[3，+∞），
∴a²＜3又∵a＞1，∴1＜a＜

3

…（11分）
综上得：1＜a＜

3

…（12分）

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及基本不等式的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．