Question

设f(x)=

x2-3x+8

2

(x≥2)，g（x）=a^x（x＞2）．
（1）若?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，则实数m的取值范围是

[3，+∞）

（2）若?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为

（1，

3

）

．

Answer 1

分析：（1）配方可得当x≥2时，函数f（x）单调增，所以f（x）_min=3，从而可求实数m的取值范围；
（2）?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），即使得f（x）的值域是g（x）值域的子集，由此可求结论．

解答：解：（1）f(x)=

x2-3x+8

2

=

1

2

(x-

3

2

)2-

23

8

当x≥2时，函数f（x）单调增，所以f（x）_min=3
∵?x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=m成立，
∴实数m的取值范围是[3，+∞）
（2）?x₁∈[2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），即使得f（x）的值域是g（x）值域的子集
?x∈[2，+∞），f（x）的值域为[3，+∞）
当a＞1时，g（x）=a^x（x＞2）的值域为（a²，+∞），∴a²＜3，∴1＜a＜

3

当0＜a＜1时，函数为减函数，显然不成立
综上，实数a的取值范围为（1，

3

）
故答案为：[3，+∞），（1，

3

）

点评：本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．