Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中点．
（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（2）求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．
（2）根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值．

解答：解：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设AD=1，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，

1

2

)
（1）因

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
故|

AC

|=

2

，|

PB

|=

5

，

AC

•

PB

=2，
所以cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

10

5

．
（2）由题得：平面PMC的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，

PM

=(0，1，-

1

2

)，

PC

=(-1，-1，1)
所以

n1 • PM =y1- z1 2 =0 n1 • PC =-x1-y1+z1=0

解得：

n1

=(1，1，2)
同理设平面AMC的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，

AM

=(0，1，

1

2

)，

AC

=(1，1，0)
所以

n2 • AM =y2+ z2 2 =0 n2 • AC =x2+y2=0

解得：

n2

=(1，-1，2)
故cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

3

，
即所求锐二面角的余弦值为

2

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．