Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（II）求二面角M-AN-B的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：依条件可知AB、AC，AA₁两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．
（I）利用线的方向向量与面的法向量垂直证线面平行．
（II）求出两个平面的法向量利用公式求出两个平面的夹角的函数值即可．
解法二：利用空间几何的点线面的定理与定义证明．
（I）设AC的中点为D，连接DN，A₁D，证明四边形A₁DNM是平行四边形，得出线线平行，用判定定理证线面平行．
（II）依定义作出二面角的平面角，在直角三角形中求它的三角函数值，再求角．

解答：解：
解法一：依条件可知AB、AC，AA₁两两垂直，
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．
根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，2），B₁（0，2，2），C₁（-1，0，2），M（0，1，2），N(-

1

2

，0，1)（2分）
（I）证明：∵

MN

=(-

1

2

，0，-2)，

AB

=(0，2，0)
是平面ACCA₁的一个法向量，
且

MN

•

AB

=-

1

2

×0+0×2-2×0=0，
所以

.

MN

⊥

AB

（4分）
又∵MN?平面ACC₁A₁，∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）
（II）设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，
因为

AM

=(0，1，2)，

AN

=(-

1

2

，1，0)，
由

AM •n=0 AN •n=0

（8分）
得

0+y+2z=0 - 1 2 x+y=0.

解得平面AMN的一个法向量n=（4，2，-1）（10分）
由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1）（11分）
cos＜m，n＞=

m•n

|n||m|

=

-1

21 ×1

=-

21

21

（13分）
∴二面角M-AN-B的余弦值是

21

21

（14分）

解法二：
（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A₁D
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN

∥ .

.

1

2

AB（1分）
又∵A1M=

1

2

A1B1，A1B1

∥ .

.

AB，
∴A1M

∥ .

.

DN，∴四边形A₁DNM是平行四边形
∴A₁D∥MN（4分）
∵A₁D?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁
∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）

（II）如图，设AB的中点为H，连接MH，
∴MH∥BB₁
∵BB₁⊥底面ABC，
∵BB₁⊥AC，BB₁⊥AB，
∴MH⊥AC，AH⊥AB
∴AB∩AC=A
∴MH⊥底面ABC（7分）
在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G
连接MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H
∴AN⊥平面MHG，则AN⊥MG
∴∠MGH是二面角M-AN-B的平面角（9分）
∵MH=BB₁=2，
由△AGH∽△BAC，得HG=

1

5

所以MG=

MH2+HG2

=

21

5

所以cos∠MGH=

HG

MG

=

21

21

∴二面角M-AN-B的余弦值是

21

21

（14分）

点评：考查线面平行与线面垂直的证明，本题方法一用的是空间向量法，此法的特点是运算量大，而方法二的特点是作辅助线较难，请读者在做本题时仔细体会两种方法的难易及优缺点．