Question

4．已知方程x²-mx+4=0在-1≤x≤1上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据△≥0，求出m的取值范围，再结合二次函数的图象和性质，分类讨论求出满足条件的m值即可．

解答 解：∵方程x²-mx+4=0在-1≤x≤1上有解，
∴△=m²-16≥0，
解得m≥4或m≤-4；
①当m≤-4时，函数f（x）=x²-mx+4在[-1，1]上单调递增，
若方程x²-mx+4=0在x∈[-1，1]上有解，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+m+4≤0}\\{1-m+4≥0}\end{array}\right.$，
解得m≤-5，
此时满足条件的m值是m≤-5；
②当m≥4时，函数f（x）=x²-mx+4在[-1，1]上单调递减，
若方程x²-mx+4=0在x∈[-1，1]上有解，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+m+4≥0}\\{1-m+4≤0}\end{array}\right.$，
解得m≥5，
此时满足条件的m值是m≥5；
综上，实数m的取值范围是m≤-5或m≥5．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质的应用问题，解题时应灵活应用二次函数的图象与性质，是基础题目．