Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ=4sinθ上任意一点，点P满足

OP

=3

OM

，设点P的轨迹为曲线Q．
（Ⅰ）求曲线Q的方程；
（Ⅱ）设曲线Q与直线l：

x=-t y=t+a

（t为参数）相交于A，B两点且|AB|=4，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P（x，y）、M（x₁，y₁），把曲线C：ρ=4sinθ 化为直角坐标方程．再由

OP

=3

OM

求得

x1= x 3 y1= y 3

，代入曲线C的方程，化简可得所求的曲线Q的方程．
（Ⅱ）直线l化为普通方程为 x+y-a=0，求出圆心到直线l的距离d，再利用弦长公式、根据|AB|=4，求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）、M（x₁，y₁），曲线C：ρ=4sinθ 即 ρ²=4ρsinθ，
化为直角坐标方程为 x²+（y-2）²=4．
由

OP

=3

OM

，可得

x1= x 3 y1= y 3

，代入曲线C的方程可得 x²+（y-6）²=36，即为所求的曲线Q的方程．
（Ⅱ）直线l：

x=-t y=t+a

（t为参数）化为普通方程为 x+y-a=0，曲线Q的圆心N（0，6），半径r=6，
圆心到直线l的距离d=

|6-a|

2

∴|AB|=4=2

r2-d2

=2

36-( 6-a 2 )2

，解得a=-2，或a=14．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．