Question

已知函数f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6lnx＋m，

(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16． 　　当t＋1＜4，即t＜3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增， 　　h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7； 　　当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16； 　　当t＞4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减， 　　h(t)＝f(t)＝－t2＋8t． 　　综上，h(t)＝ 　　(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点． 　　∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m， 　　∴(x)＝2x－8＋(x＞0)， 　　当x∈(0，1)时，(x)＞0，φ(x)是增函数； 　　当x∈(1，3)时，(x)＜0，φ(x)是减函数； 　　当x∈(3，＋∞)时，(x)＞0，φ(x)是增函数； 　　当x＝1或x＝3时，(x)＝0． 　　∴φ(x)max＝φ(1)＝m－7， 　　φ(x)min＝φ(3)＝m＋6ln3－15． 　　∵当x充分接近0时，φ(x)＜0；当x充分大时，φ(x)＞0．∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需 　　 　　即7＜m＜15－6ln3． 　　∴存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7，15－6ln3)．