Question

1．函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）确定A，ω，φ的值，并写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）描述函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换而得到；
（Ⅲ）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{10}{13}$（$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{5π}{6}$），求tan2（α-$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）解析式．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（Ⅲ）由条件求得故$tan（α-\frac{π}{3}）=\frac{5}{12}$，再利用二倍角的正切公式，求得$tan2（α-\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（Ⅰ）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知A=2．
∵$\frac{3T}{4}$=$\frac{5π}{12}$-（$\frac{π}{3}$），∴T=π．∴ω=2．
由五点法作图知当x=$\frac{5π}{12}$时，ωx+φ=$\frac{π}{2}$，
即2×$\frac{5}{12}$π+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$．故$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）先把y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到$y=sin（x-\frac{π}{3}）$的图象，
使曲线上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到函数$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$的图象，
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（Ⅲ）由$f（\frac{α}{2}）=\frac{10}{13}$得$sin（α-\frac{π}{3}）=\frac{5}{13}$，因为$\frac{π}{3}＜α＜\frac{{5{π}}}{6}$
所以$0＜α-\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}$，得$cos（α-\frac{π}{3}）=\frac{12}{13}$，故$tan（α-\frac{π}{3}）=\frac{5}{12}$，
∴$tan2（α-\frac{π}{3}）=\frac{{2tan（α-\frac{π}{3}）}}{{1-{{tan}^2}（α-\frac{π}{3}）}}=\frac{120}{119}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，二倍角的正切公式，属于中档题．