题目内容
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，
使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D．
（1）求证：PB1
平面BDA1；
（2）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．
使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D．
（1）求证：PB1
平面BDA1； （2）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．
解：以
为原点，
B，
C，
A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，
则
（0，0，0），
（1，0，0），
（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（1）在△PA
中，
D=
A
，则D（0，1，
）
∴
=（1，0，1），
=（0，1，
），
=（﹣1，2，0）
设平面BD
的一个法向量为
=（a，b，c）则
令c=﹣1，则
=（1，
，﹣1）
∵
·
=1
（﹣1）+
2+（﹣1）
0=0
∴P
平面BD
（2）由（I）知平面BD
的一个法向量
=（1，
，﹣1）
又
=（1，0，0）为平面A
D的一个法向量
∴cos＜
，
＞=
=
=
故二面角A﹣
D﹣B的平面角的余弦值为
为原点，B，C，A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则
（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）（1）在△PA
中，D=A，则D（0，1，）∴
=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）设平面BD
的一个法向量为=（a，b，c）则令c=﹣1，则
=（1，，﹣1）∵
·=1（﹣1）+2+（﹣1）0=0∴P
平面BD（2）由（I）知平面BD
的一个法向量=（1，，﹣1）又
=（1，0，0）为平面AD的一个法向量∴cos＜
，＞===故二面角A﹣
D﹣B的平面角的余弦值为
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