Question

如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设，

DF

DE

=λ1，

AE

AC

=λ2，且λ1+λ2=

1

2

，记△BDF的面积为S=f （λ₁，λ₂，），则S的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先由△ABC的面积为1，

AE

AC

=λ2，得出：△ABE的面积为λ₂，D是AB的中点，得到△BDE的面积为

λ2

2

，代入△BDF的面积中，根据基本不等式的性质求得S的最大值即可．

解答：解：因为△ABC的面积为1，

AE

AC

=λ2，所以，△ABE的面积为λ₂，
因为D是AB的中点，所以，△BDE的面积为

λ2

2

，因为

DF

DE

=λ1，
所以△BDF的面积为

1

2

λ1λ2≤

1

2

(

λ1+λ2

2

)2=

1

32

，
当且仅当λ₁=λ₂时，取得最大值．
故答案为：

1

32

．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练．