Question

如图所示，已知在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，∠AOB=

π

2

，AO=2，BO=6，D为A₁B₁的中点，且异面直线OD与A₁B垂直，则三棱柱ABO-A₁B₁O₁的高是

4

．

Answer 1

分析：设三棱柱ABO-A₁B₁O₁的高为t，（t＞0）以OA为x轴，以OB为y轴，以OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，结合题设条件，利用空间向量能够求出结果．

解答：解：设三棱柱ABO-A₁B₁O₁的高为t，（t＞0）
以OA为x轴，以OB为y轴，以OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，∠AOB=

π

2

，AO=2，BO=6，D为A₁B₁的中点，
∴A（2，0，0），B（0，6，0），A₁（2，0，t），B₁（0，6，t），D（1，3，t），
∴

A1B

=(-2，6，-t)，

OD

=(1，3，t)，
∵异面直线OD与A₁B垂直，
∴

A1B

•

OD

=-2+18-t²=0，
解得t=4．
故答案为：4．

点评：本题考查三棱柱的高的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．