Question

F₁，F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a≠b)的两焦点，P是右支上异于顶点的任意一点，O为原点，则△PF₁F₂的内切圆圆心一定在（　　）

A．双曲线右支上

B．直线OP上

C．直线x=b

D．直线x=a上

Answer 1

分析：设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，则|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，又点P在双曲线右支上⇒|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|F₁M|-|F₂M|=2a．而|F₁M|+|F₂M|=2c，设M点坐标为（x，0），则由|F₁M|-|F₂M|=2a，⇒（x+c）-（c-x）=2a，可解得x=a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，于是问题解决．

解答：解：设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，
则|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|．
又点P在双曲线右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，即（|PA|+|F₁A|）-（|PB|+|F₂B|）=2a，
∴|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，设M点坐标为（x，0），
∵|F₁M|-|F₂M|=2a，
∴（x+c）-（c-x）=2a，解得x=a，
又内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，
故选D．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合与双曲线的简单性质，难点在于“|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|F₁M|-|F₂M|=2a”的分析与应用，着重考查双曲线的定义与性质的灵活运用，属于难题．