Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）设，当三角形OAB的面积S∈[2，]时，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线方程可得焦点F的坐标，设出直线的方程与抛物线方程联立消去x，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）根据韦达定理可求得y₁y₂进而求得x₁x₂的值进而可得答案．
（2）由可知所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），与抛物线方程联立整理得x₁=λ²x₂，进而求得y₂和x₂，代入三角形面积公式，进而根据面积的范围求得λ的范围．
解答：解：（1）根据抛物线方程y²=4x可得F（1，0）
设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x得y²-4my-4=0
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
则y₁y₂=-4
因为
故
（2）解：因为，
所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂）
即
又y₁²=4x₁③y₂²=4x₂④
由②、③、④消去y₁，y₂后得，x₁=λ²x₂
将其代入①，注意到λ＞0，解得
从而可得
故三角形OAB的面积
因为恒成立，所以只要解即可，
解得．
点评：本题主要考查抛物线的应用．题中涉及向量的计算，不等式问题和解三角形等问题，综合性很强．