Question

（文）已知a＞b＞c且

4

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

≥0恒成立，则k的最大值是（　　）

A．4

B．8

C．9

D．25

Answer 1

分析：由已知，k只需小于等于

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

的最小值即可．再利用基本不等式求出

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

的最小值．

解答：解：∵a＞b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0．
由

4

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

≥0得

4

a-b

+

1

b-c

≥

k

a-c

即

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

≥k，
k只需小于等于

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

的最小值即可．
因为

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

=

4[(a-b)+(b-c)]

a-b

+

(a-b)+(b-c)

b-c

=4+

4(b-c)

a-b

+

(a-b)

b-c

+1
≥4+2

4(b-c) a-b • (a-b) b-c

+1
=9
当且仅当

4(b-c)

a-b

=

(a-b)

b-c

时取到等号，
所以k≤9，
k的最大值是9
故选C

点评：本题是道不等式恒成立问题，考查函数思想，分离参数方法，以及基本不等式的应用．考查运算求解能力．是道好题．