Question

（本小题满分16分）

已知，，且直线与曲线相切．

（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；

（3）求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1）设点为直线与曲线的切点，则有

．     （*）

，． （**）

由（*）、（**）两式，解得，．   

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，

，当时，，则是增函数，

，是增函数，，．

因此，实数的取值范围是．

（2）当时，

，在上是增函数，在上的最大值为．

要对内的任意个实数都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．

，解得．因此，的最大值为． 

（3）证明：当时，得出． 令，   

化简得，

得出．

【解析】

试题分析：（1）设点为直线与曲线的切点，则有

．     （*）

，． （**）

由（*）、（**）两式，解得，．   

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，

，当时，，则是增函数，

，是增函数，，．

因此，实数的取值范围是．

（2）当时，

，在上是增函数，在上的最大值为．

要对内的任意个实数都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．

，解得．因此，的最大值为． 

（3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，，

即． 令，得，   

化简得， 

． 

考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，证明不等式。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。