Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为．
（I）求p与m的值；
（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点M作抛物线的切线MN，N（非原点）为切点，以MN为直径作圆A，若圆A恰好经过点Q，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义能求出p与m的值．
（Ⅱ）设直线，当y=0，x=，则M（），联立方程，得：x²-kx+t（k-t）=0，由此入手能够求出t的最小值．
解答：（本题满分15分）
解：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义
点A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得
∴抛物线方程为：x²=y，将A（m，4）代入抛物线方程，解得m=±2…（4分）
（Ⅱ）由题意知，过点P（t，t²）的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k．
则，
当y=0，x=，则M（），…（6分）
联立方程，整理得：x²-kx+t（k-t）=0，
即：（x-t）[x-（k-t）]=0，解得x=t，或x=k-t，
∴Q（k-t，（k-t）²），…（8分）
而以MN为直径的圆A恰好经过点Q，
∴QN⊥QP，∴直线NQ斜率为-，
∴，…（10分）
联立方程，
整理得：，
即：kx²+x-（k-t）[k（k-t）+1]=0，
[kx+k（k-t）+1][x-（k-t）]=0，
解得：x=-，或x=k-t，
∴N（-），…（12分）
∴=，
而抛物线在点N处切线斜率：k_切==，
∵MN是抛物线的切线，∴=，…（14分）
整理得k²+tk+1-2t²=0，
∵△=t²-4（1-2t²）≥0，
解得t≤-（舍去），或t≥，
∴t_min=．…（15分）
点评：本题考查抛物线的性质和应用，具体涉及到抛物线和直线的位置关系的应用，抛物线的简单性质，圆的简单性质，直线方程等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．