题目内容

已知函数 $数学公式$ ，（x∈R，a，b为实数）
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的零点，求证：函数f（x）不是单调函数；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

解：（I）∵f（1）= $\text{[math]}$ +a-b+1=0
∴b=a+ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
△=4a²+4（a+ $\text{[math]}$ ）=4 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0
∴f′（x）=0必有两个不同的实根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
当x∈（-∞，x₁），f′（x）＞0，
x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，
x∈（x₂，+∞），f′（x）＞0，
故f（x）存在两个极值点即f（x）不是单调函数．
（II）∵函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数
∴函数在[-1，2]上有f′（x）≤0恒成立
$\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
∵a+b= $\text{[math]}$ （2a+b）+ $\text{[math]}$ （b-4a）≥ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$
∴a+b最小值为 $\text{[math]}$
分析：（I）根据x=1是函数f（x）的零点将b用a表示，然后研究函数的导数，求出f′（x）=0的根，然后判定函数的单调性即可；
（II）将函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数转化成函数在[-1，2]上有f′（x）≤0恒成立，建立a、b的不等关系，然后利用a+b= $\text{[math]}$ （2a+b）+ $\text{[math]}$ （b-4a）可求出所求．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式的应用，同时考查了转化的数学思想和计算能力，属于中档题．