Question

已知函数的图象上移动时，点的图象上移动．
（I）点P的坐标为（1，-1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（Ⅱ）求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）若方程的解集是∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中点P的坐标为（1，-1），我们可以求出点Q的坐标（含参数t），由点Q也在y=f（x）的图象上，可以构造一个关于t的方程，解方程求出t的值．
（II）由已知中点的图象上，可得，由点P（x，y）在y=f（x）的图象上，满足y=f（x）的解析式，代入即可求得函数y=g（x）的解析式；
（III）若方程的解集是∅，则方程组无解，构造函数h（x）=，求出函数的值域后，即可得到方程的解集是∅时，实数t的取值范围．
解答：解：（I）当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为（，-1），
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴-1=（+1）
∴t=0．
（Ⅱ）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上，
则
而点P（x，y）在y=f（x）的图象上．
∴y=（2x+t）即为所求
（Ⅲ）原方程可化为
令h（x）=+（x+1）]+3
①当x＞0时，-1时取等号）∴h（x）≤3-2；
②当x＜-1时，-1时取等号），∴h（x）≥3+2
故方程h（x）=t的解集为ϕ时，t的取值范围为（3-2）．
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，求对数函数的解析式，其中利用坐标系，求出函数y=g（x）的解析式中解答本题的关键．