Question

已知函数f（x）=log

1

2

（x+1），当点P（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上移动时，点Q(

x0-t+1

2

，y0) (t∈R)在函数y=g（x）的图象上移动．
（1）若x₀=1，且点Q也在函数y=f（x）的图象上，求y₀，t的值；
（2）当t=0时，求函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）写出Q点的坐标，代入f（x）的解析式中即可求出t
（2）设Q（x，y）为y=g（x）的图象上任意一点，由P和Q点的对应关系，可用x、y表达出P点的坐标，代入f（x）的解析式得到的x和y的关系即g（x）的表达式．

解答：解：（1）由函数f（x）=log

1

2

（x+1），若x₀=1，则y₀=-1；
当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为 (

1-t+1

2

，-1)，∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴-1=log

1

2

(-1+

t

2

+1)，即t=0．
（2）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上
则

x= x0-t+1 2 y=y0

，即

x0=2x+t-1 y0=y

而P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，
∴y0=log

1

2

(x0  +1)代入得，y=g(x)=log

1

2

(2x+4)为所求．

点评：本题考查轨迹法求函数的解析式、对数的运算法则、对数函数的性质问题．