Question

在锐角△ABC中，已知tan

A

2

=tan3

C

2

且tanC=2tanB，求证：A、B、C成等差数列．

Answer 1

分析：先根据正切函数的二倍角公式得到B与

C

2

的关系，再由两角和与差的正切公式化简

A+C

2

再将tan

A

2

=tan3

C

2

代入可得证．

解答：解：∵tanC=2tanB，所以 tanB=

tan C 2

1-tan2 C 2

而 tan

A+C

2

=

tan A 2 +tan C 2

1-tan A 2 tan C 2

=

tan3 C 2 +tan C 2

1-tan4 C 2

=

tan C 2 (1+tan2 C 2 )

1-tan4 C 2

=

tan C 2

1-tan2 C 2

所以 tan

A+C

2

=tanB
因为 A，B，C 是锐角，所以 B，

A+C

2

是锐角，所以由 tan

A+C

2

=tanB
得知 B=

A+C

2

，即 A，B，C成等差数列．

点评：本题主要考查正切函数的二倍角公式和两角和与差公式的应用．属基础题．