题目内容
在锐角△ABC中，已知cosA=
，BC=
，记△ABC的周长为f（B）．
（1）求函数y=f（B）的解析式和定义域，并化简其解析式；
（2）若f(B)=
+
，求f(B-
)的值．
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（1）求函数y=f（B）的解析式和定义域，并化简其解析式；
（2）若f(B)=
| 3 |
| 6 |
| π |
| 2 |
分析：（1）由题意可求得A角，利用正弦定理及内角和等于π可把边AC、AB用B角表示出来，从而求得解析式；根据各角为锐角及内角和定理可求定义域．
（2）根据（1）所求解析式及f(B)=
+
可求得B角，进而可求出f(B-
)的值．
（2）根据（1）所求解析式及f(B)=
| 3 |
| 6 |
| π |
| 2 |
解答：解：（1）由题意得A=
，由正弦定理，得
=
=
，即
=
=
，
所以AB=
•sinC=2sinC，AC=2sinB，又B+C=
，
所以y=f（B）=AB+BC+AC=2sinC+2sinB+
=2sin（
-B）+2sinB+
=2sin
cosB-2cos
sinB+2sinB+
=3sinB+
cosB+
=2
sin（B+
）+
．
由
，得
＜B＜
．
所以函数y=f（B）=2
sin(B+
)+
，定义域为（
，
）．
（2）f（B）=
+
，即2
sin(B+
)+
=
+
，
∴sin（B+
）=
，又
＜B＜
，∴B=
，
∴f（B-
）=2
sin(
-
)=2
sin（-
）
=-2
sin(
+
)=-2
（sin
cos
+cos
sin
）
=-2
×
=-
．
∴f（B-
）=-
．
| π |
| 3 |
| BC |
| sinA |
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
| ||
sin
|
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
所以AB=
| ||
sin
|
| 2π |
| 3 |
所以y=f（B）=AB+BC+AC=2sinC+2sinB+
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
=2sin
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
=3sinB+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
由
|
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
所以函数y=f（B）=2
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）f（B）=
| 3 |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
| 6 |
∴sin（B+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
∴f（B-
| π |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 5π |
| 12 |
=-2
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
=-2
| 3 |
| ||||
| 4 |
3
| ||||
| 2 |
∴f（B-
| π |
| 2 |
3
| ||||
| 2 |
点评：本题考查了函数解析式的求法及三角恒等变换，函数定义域的求解要考虑实际意义．
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