Question

在锐角△ABC中，已知BC=1，B=2A
（1）求

AC

cosA

的值；
（2）求AC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设∠A=θ，可得∠B=2θ，利用正弦定理列出关系式，将已知的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出所求式子的值；
（2）由三角形为锐角三角形求出θ的范围，由（1）得到AC=2cosθ，利用余弦函数的图象与性质即可求出AC的范围．

解答：解：（1）设∠A=θ，可得∠B=2θ，
由正弦定理得

AC

sin2θ

=

BC

sinθ

，即

AC

2sinθcosθ

=

1

sinθ

，
∴

AC

cosA

=

AC

cosθ

=2；
（2）∵△ABC为锐角三角形，∴0＜2θ＜90°，
∴0＜θ＜45°，
又0＜180-3θ＜90°，
∴30°＜θ＜60°，
∴

2

2

＜cosθ＜

3

2

，
则AC=2cosθ∈（

2

，

3

）．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．