Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
①求证{a_n+1}是等比数列；
②求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）将数列递推式两边同时加上1，化简后再作商可得数列{a_n+1}是等比数列；
（2）根据（1）可求出数列{a_n+1}的通项，从而可求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）由题意知a_n+1=2a_n+1，则a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1）
∴

an+1+1

an+1

=2，且a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）得a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
则a_n=2ⁿ-1．

点评：本题考查了构造新的等比数列求出通项问题，数列的递推公式为：a_n+1=Aa_n+B，其中A和B是常数，构造出 a_n+1+k=A（a_n+k）式子，再证明数列{a_n+k}是等比数列即可．