Question

【题目】已知点、分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.

（1）求点的轨迹方程；

（2）动直线与交于不同的两点，，且的面积为，其中为坐标原点，证明为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；

【解析】

（1）设，根据点在线段上，且，得到，的坐标，再由建立x，y方程即可所求.

（2）当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，根据在椭圆上和，求得坐标即可，当直线的斜率存在时，设直线方程为，将代入方程中，利用弦长公式求得，点到直线的距离，由得到k，m的关系，再利用韦达定理求解即可.

（1）设，

因为点在线段上，且，

所以，，

因为，

所以，

即，

所以点的轨迹的方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，

所以，.

因为，在椭圆上，所以有，

又因为，

所以，

解得，，

此时，，

②当直线的斜率存在时，设其方程为，由题意.

将代入方程中，

整理得，

①

，，

则.

因为点到直线的距离为，

所以，

得且符合①式，

此时，，

，

所以，

综上所述，（定值）